Tandori Károly Emlékverseny

Éppen 100 éve 1925-ben Újvidéken született Tandori Károly matematikus, a szegedi egyetem professzora, akadémikus. 20 esztendeje, 2005. január 24-én hunyt el Szegeden.

Kutatási területe a valós függvénytan, függvénysorok elmélete és a valószínűségszámítás.

Egyik legnagyszerűbb tétele, amelynek bizonyítása Pál László: Ortogonális függvénysorok című jegyzetében több mint 20 oldal, a következő:

Tandori tétel

Természetesen ez a tétel meghaladja a középiskolai tananyagot, pusztán illusztrációként említjük.

Most egy 10 fordulós versenyt hirdetünk az iskola minden tanulója számára Tandori Károly születésének 100. évfordulójára emlékezve.

Minden héten egy feladatot tűzünk ki, amelynek megoldását egy A4-es méretű lapon kérjük beadni a megjelölt időpontig, a 44-es teremben.

6. feladat
Beadási határidő: március 25. 12 óra

Legyenek a, b ∈ ℝ+. Az a, 1/b, 1/a + b számok legkisebbikét jelölje m(a,b).
Melyik (a,b) számpár esetén lesz m(a,b) a lehető legnagyobb?

Korábbi feladatok

5. feladat
Beadási határidő: március 18. 12 óra

Valaki kijelenti: "Csak körző segítségével tudok egy r sugarú k kör segítségével olyan K kört szerkeszteni, hogy K területe háromszor akkora, mint k területe, ha 2*r távolságot is körzőnyílásba tudok venni"
Igaza lehet az illetőnek?

4. feladat
Beadási határidő: március 11. 12 óra

Egy városban 924 klub működik, mindegyiknek 21 tagja van. Minden lakó ugyanannyi klubnak a tagja, és bármely két ember pontosan 2 klubban tag.
a. Hány lakosa van a városnak?
b. Egy lakó hány klubnak a tagja?

3. feladat
Beadási határidő: március 4. 12 óra

Cézár az egyetlen kutya a mi utcánkban.
A házak 1-től vannak folyamatosan számozva. Cézár házszáma C, amelyről azt tudjuk, hogy legalább 30, de kisebb mint 40. Ismeretes az is, hogy a C előtti számok összege megegyezik a C utáni számok összegével.
a. Hol lakik Cézár?
b. Hány ház van az utcánkban?

A 3. feladat megoldása IDE KATTINTVA nézhető meg.

2. feladat
Beadási határidő: február 25. 12 óra

Öt tanuló az osztályból részt vett egy tanulmányi versenyen. Az értékelés után 7 állítás hangzik el.
(1) A-nak több pontja van, mint E-nek.
(2) B-nek kevesebb pontja van, mint C-nek.
(3) C-nek kevesebb pontja van, mint D-nek.
(4) D-nek kevesebb pontja van, mint A-nak.
(5) E-nek több pontja van, mint C-nek.
(6) A-nak kevesebb pontja van, mint C-nek.
(7) E-nek több pontja van, mint D-nek.

Később kiderül, hogy a 7 állításból pontosan egy hamis. Adjuk meg a diákok sorrendjét növekvő pontszámaik szerint!

A 2. feladat megoldása

Ha X-nek több pontja van, mint Y-nak, akkor azt így jelöljük X>Y.
A (3) állítás szerint C < D, a (4) szerint D < A, (6) szerint A < C, ezekből adódik A < C < D < A,
azaz A < A, ami nem lehetséges. Ezért (3) vagy (4) vagy (6) hamis.
(1) szerint A > E, (5) szerint E > C, (6) szerint A < C, ezekből A < C < E < A, azaz A < A.
Ezért (1) vagy (5) vagy (6) hamis.
Mivel csak egy hamis állítás van, ezért a (6) állítás a hamis.
Ekkor (2)-ből B < C, (3)-ból C < D, (7)-ből D < E illetve (1)-ből E < A. Ezért B < C < D < E < A a keresett sorrend.

A megoldók eredményei

1. feladat
Beadási határidő: február 18. 12 óra

Anti és Bea, két turista, napkeltekor elindul, Anti A-ból B-be, Bea B-ből A-ba. Sebességük a túra során végig állandó. Pontosan 12 órakor haladnak el egymás mellett, majd folytatják útjukat, Anti B-be, Bea A-ba. Anti 16 órakor ér B-be, míg Bea 21 órakor A-ba.

Hány órakor kelt fel a nap ezen a napon?

Az 1. feladat megoldása

Jelölje V Anti sebességét, W Bea sebességét.
Az indulástól a találkozásig Anti A, Bea B km-t tesz meg. Legyen a napfelkelte időpontja t.
Ekkor A = V(12-t) = 9W, illetve B = W(12-t) = 4V
A két egyenletet összeszorozva:
AB = VW(12-t)2 = 36VW, VW ≠ 0-val egyszerűsítve, ezért (12-t)2 = 36, mivel 12-t > 0, ezért
12-t = √36 = 6
t = 6
A nap aznap reggel 6 órakor kelt fel.

A megoldók eredményei: