Erdős Pál Emlékverseny

1. feladat
4 falu egy fennsíkon helyezkedik el. A négy település egy négyzetet (ABCD) alkot. A település a B településtől 10 km távolságban van. A 4 település polgármestere utakat szeretne a települések közé, hogy mindegyik települést meg lehessen közelíteni, akár egy másikon keresztül. Az útépítés költséges dolog, így a lehető legrövidebb utat kell építtetni. Mekkora a minimális úthossz, hogy mindegyik települést el lehessen érni bármelyikből?

2. feladat
Egy kör alakú sziget peremén (partján) 10 település van. A sziget kormányzója utakat építtetett, hogy minden városból közvetlenül el lehet érni minden várost. (ez egy gazdag sziget J) Ez rengeteg útkereszteződést jelent. A sok baleset miatt a kormányzó minden kereszteződésbe közlekedési lámpákat szeretne telepíttetni. Minden útkereszteződésben csak 2 út találkozik. Mennyi közlekedési lámpát jelent ez, ha egy kereszteződésbe 4 lámpát helyeznek ki?

1. feladat
Mennyi a (1+2)*(1+2²)*(1+2⁴)*(1+2⁸)*(1+2¹⁶)*(1+2³²)*(1+2⁶⁴) szorzat értéke?

Megoldás
Szorozzuk meg a fenti szorzatot (2-1) = 1-gyel:
(2-1)*(1+2)*(1+2²)*(1+2⁴)*(1+2⁸)*(1+2¹⁶)*(1+2³²)*(1+2⁶⁴)
Az (a+b)*(a-b) = a²-b² azonosság alapján a (2-1)*(1+2) =(2²-1)

Ha ezt behelyettesítjük az első szorzatba, akkor a következőt kapjuk: (2²-1)*(1+2²)*(1+2⁴)*(1+2⁸)*(1+2¹⁶)*(1+2³²)*(1+2⁶⁴)
A fenti azonosság itt is alkalmazható: (2²-1)*(1+2²) = (2⁴-1), és az így kapott eredményt szintén visszahelyettesítjük a szorzatba.

(2⁴-1)*(1+2⁴)*(1+2⁸)*(1+2¹⁶)*(1+2³²)*(1+2⁶⁴)
Észrevehető, hogy az azonosság itt is megjelenik az első két tagnál, és ez minden egyszerűsítés után tovább vihető.

Ha végigcsináljuk az összes tagra az (a+b)*(a-b) = a²-b²azonosságot, akkor eredményül a 2¹²⁸-1 (kettő a százhuszonnyolcadikon mínusz egy) eredményt kapjuk.

2. feladat
Egy négyzet csúcsai, oldalainak felezőpontjai és az átlók metszéspontja kilenc pontot határoz meg. Hányféle olyan négyszög létezik, amelynek csúcsai a kilenc pontból kerülnek ki, és a négyszögnek van 180°-nál nagyobb szöge?

Megoldás
Az átlók metszéspontjánál (K) lehetséges a 180°-nál nagyobb szög. Mivel a négyzet tengelyesen és középpontosan szimmetrikus, így elegendő az A, B, C, D csúcsok közül 2 pontot K mellé választanunk. Ezek alapján a következő négy megoldás lehetséges.

1. feladat
A tigris hétfőn, szerdán és pénteken mindig hazudik, a hét többi napján mindig igazat mond. A párduc kedden, szerdán és csütörtökön mond igazat, míg a hét többi napján hazudik. Milyen napon mondta mindegyikük: „Tegnap igazat mondtam”. (A választ indokolja!)

Ha valamely nap igazat mond az előző nap is azt kellett, ha hazudik, akkor szintén előző nap is hazudnia kellett. Így vasárnap mondták az állítást.

2. feladat
Egy dobozban 103 db kavics van. Péter és Róbert felváltva vesznek ki a dobozból legalább 1, de legfeljebb 10 kavicsot. Amikor a doboz kiürült, mindketten megszámolják, hogy összesen hány kavicsot vettek ki külön-külön. Ha ez a két szám relatív prím, akkor Péter nyer. A játékot kezdő Péter tud-e úgy játszani, hogy biztosan ő nyerjen? Ha igen, hogyan kell játszania?

Megoldás
Két szám relatív prím, ha legnagyobb közös osztójuk 1. A 103-at kell két szám összegére bontanunk. Legyen ennek a két számnak a legnagyobb közös osztója x. Ez osztja a két szám összegét is, vagyis a 103-at. De a 103 prím, ezért x csak az 1 lehet. A két szám mindig relatív prím, vagyis mindig Péter nyer.

A gyökjel alatt nem szerepelhet negatív szám, ezért biztos, hogy az egyenlet megoldását a nemnegatív számok között kell keresni. Nemnegatív szám négyzete és négyzetgyöke is nemnegatív, tehát az egyenletben két nemnegatív szám összege lesz 18. Egy lehetséges megoldás az x=4, azt tudjuk. A kérdés csak az van-e másik megoldás is. A 4-nél nagyobb számok négyzete nagyobb 16-nál, négyzetgyöke nagyobb 2-nél, e kettő összege nagyobb, mint 18. A 4-nél kisebb nemnegatív számok négyzete kisebb, mint 16, négyzetgyöke kisebb, mint 2, e kettő összege kisebb, mint 18.
Tehát csak az x=4 lesz a megoldás, más nem.

2. feladat
Adott egy 10 m*10 m-es és egy 1 m*8 m-es téglalap alakú szőnyegdarab. Le kell vele burkolni egy 12 m*9 m-es téglalap alakú szobát. Hogy lehet ezt úgy megtenni, hogy csak az egyik szőnyegdarabot szabad elvágni, egyetlen összefüggő vágással ( törött vonal segítségével)?

A vágás a vastagított törött vonal mentén történik.

1.feladat
Egy nagy kocka egyik csúcsában ül egy pók, a tőle legtávolabb eső csúcsában egy mozgásra képtelen szúnyog tartózkodik. Melyik az a legrövidebb út a kocka felületén, amin a póknak érdemes megközelíteni a szúnyogot? Mutasd meg, hogy ez a legrövidebb út.

Megoldás
Terítsük ki a síkba a kocka két szomszédos lapját,és keressük így a legrövidebb utat. Mivel a felszínen kell maradni, egy 2 négyzetből összerakott téglalap egyik csúcsából kell az átlósan szemközti csúcsba eljutni. Mivel 2 pont között a legrövidebb út az egyenes,a póknak az átló mentén kell haladnia, azaz a ABCDEFGH kocka A csúcsából indulva a BF élének K felezéspontján át haladva, a AKG törött vonal mentén lesz a legrövidebb út.

A Szegedi Dóm harangja az első ütés elejétől az utolsó ütés végéig kereken öt másodperc alatt üti el a hat órát. Minden harangütés negyed másodpercig tart. Mennyi idő alatt üti el a harang a tizenkét órát?

Hat órakor hat harangütés és öt szünet van. 6 harangütés 6*0,25=1,5 mp, 5 szünet tehát 3,5 mp, egy szünet 0,7 mp. Tizenkét órakor 12 harangütés és 11 szünet van, tehát a keresett idő 12*0,25+11*0,7=10,7 mp.

Marci, Norbi és Ottó olyan városban laknak, ahol minden utca kelet-nyugat vagy észak-dél irányú, és az utcák a várost szabályos négyzet alakú tömbökre osztják. Mindegyikük egy sarokházban lakik, légvonalban azonos távolságra az iskolától, ahol egy osztályba járnak, mégis mindhármuknak különböző utat kell megtenniük reggelente. Marcinak 31 tömbnyit, Norbinak 35 tömbnyit kell sétálnia az iskoláig. Hány tömbnyit kell sétálnia Ottónak?

Megoldás
Mivel egyenlő távolságban laknak az iskolától, rajzolható egy olyan kör, amelyik mindhármuk házán átmegy. Amikor gyalogolnak, akkor vagy egy olyan derékszögű háromszög befogói mentén haladnak végig, amelynek átfogója az adott kör sugara, vagy a kör sugarának megfelelő távolságot tesznek meg (ilyenkor nincs háromszög).
A keresett átfogó nem lehet 35 egység, mert egyikük csak 31 egységnyit gyalogol, és a háromszög befogóinak összege nagyobb, mint az átfogó.
A keresett átfogó nem lehet 31 egység sem, mert nincs olyan derékszögű háromszög, amelynek befogói egész számok, és átfogója 31.
Tehát mindkét ismert távolságot sétáló gyerek a befogók mentén sétál. Olyan háromszögeket keresünk tehát, amelyek átfogója egyenlő, és befogóik összege 31 illetve 35 egység. Próbálgatással vagy másodfokú egyenlet megoldásával az átfogó csak 25 egység lehet. Mivel 25 egységnyi átfogóval csak két derékszögű háromszög rajzolható (befogóik 7 és 24, illetve 15 és 20 egység), a harmadik gyerek a kör sugarának megfelelő távolságot teszi meg, tehát 25 Ottónak 25 tömbnyit kell sétálnia.

1.feladat
Kőkori munkások egy 314 cm hosszú kőtömböt mozgatnak görgőkön a kőfejtőből arra a síkságra, ahol majd megalitikus építményt készülnek emelni. A görgők 10 cm átmérőjű fatörzsek.

Amikor egy görgő hátul kigördül a kőtömb alól, azonnal a kőtömb elejéhez szaladnak vele, és újra alája helyezik. Így haladnak előre.

Megoldás
(a) A görgő csúszás nélkül gördül a kőtömb alján, amely vízszintes. Mivel kerülete 2rπ ≈ 31,4 cm, és a kőtömb hossza ennek 10-szerese, a görgő ezalatt 10-szer fordul meg a tengelye körül. Mivel a talajon is csúszás nélkül gördül, a válasz 10.
(b) A fentebb leírtak alapján a görgők 314 cm-t haladnak előre a talajhoz képest, és ugyanennyit hátrafelé a kőtömbhöz képest, a kőtömb 2-szer ennyit, azaz 618 cm-t tesz meg a talajhoz képest.

2. feladat
Tanulmányozzuk az első ábrán levő lovagot: Mi van rajta, ami lehetetlen?

A kezében tartott kivont kardot nyilván sosem tudja az oldalán függő, noha megfelelő méretű és alakú, hüvelybe beletenni.

Ha olyan kardja lenne, mint a második ábra lovagjainak, azaz egyenes vagy körív alakú, akkor nem lenne ilyen problémája, a kard beleférne a megfelelő alakú hüvelybe.

Milyen alakú lehet még –az egyenesen és a köríven kívül – az az (ugyancsak egyenletes keresztmetszetű) kard, amelyik szintén belefér az ugyanolyan alakú hüvelybe? (Az ilyen kard használhatóságát most ne firtassuk.)

A síkban nincs több lehetőség, de 3 dimenzióban igen: A kard lehet a csavarmenethez, dugóhúzóhoz hasonló, (azaz hélix) alakú is.
Megjegyzés: Felhívjuk a figyelmet arra, hogy noha a hétköznapi nyelvben valóban használatos a "spirálrugó" elnevezés a hélix alakú (hagyományos) rugót illetően, a "spirál" szó nem ezt az alakzatot jelenti. A spirál síkbeli alakzat, a "csigavonal" tudományos neve.

Egy versenyistállóban 25 ló van. Egy ló akárhányszor futja is le a pályát mindig ugyanakkora sebességgel teszi azt. A pályán 5 boksz van, így egyszerre legfeljebb öt ló versenyezhet. Időmérésre sajnos nincs lehetőségünk, csak azt tudjuk megállapítani, hogy az egyes futamokban mi a sorrend. Holtverseny sosem alakul ki.

Feladat: Döntsd el a lehető legkevesebb futamból, hogy a 25 lóból melyik a 3 leggyorsabb!

Írd le, hogy az egyes futamokban melyik lovak futnak, és hogy összesen hány futamra van szükség!

Az első 5 futam(selejtezők): a lovakat véletlenszerűen ötös csoportokba osztjuk, és így minden ló egyszer fut. Minden futam végeredményét feljegyezzük.

A 6. futam: az öt futamgyőztes fut. Az ebben a futamban győztes ló az abszolút első.

A 7. futam: Itt már csak a 2. illetve a 3. hely sorsa kérdéses. Itt csak azok a lovak futhatnak, amelyek esélyesek erre a címre, azaz sem a túl lassúak, sem pedig a túl gyors nem futhat (így leggyorsabb ló nem futhat). Futnia kell a 6. futam 2. ill. 3. helyezettjének, a leggyorsabb ló első futamában 2., ill. 3. helyezetteknek valamint annak a lónak, amelyik a 6. futam második helyezettje mögött lett második a selejtező során.

Ennek a futamnak az első két helyezettje az abszolút 2. illetve az abszolút 3.

Piszkos Fred és Okos Fülöp a Fülelő Falhoz címzett osztályon aluli étteremben élvezte az egész napos nehéz testi bűnözés után jól megérdemelt pihenést és a szokásos esti féldecit. (A tizenkilencediket.)

– Vajon ki nyírhatta ki a jó öreg Mackie Macket? – töprengett Fred hangosan.

– Halvány gőzöm sincs – mondta Fülöp. – Azt véletlenül tudom, hogy melyik házban lakik, mert a marha végigtrappolta a lépcsőházat a pirostalpú cipőjével. Persze mire a rendőrség kiszállt, a nyomok valahogy eltűntek.

– Én meg azt tudom, hogy melyik kocsmába jár. A csapos már napok óta jósolgatta, hogy Mackienek rossz vége lesz. De nem tudom ki csinálta.

- Hm, - vakarta meg a fejét – azt mindenki tudja, hogy csak kilencen jöhetnek számításba: Aranylábú Alfréd, Bika, Cinege, Dikics, Erősfiú, Fatengelyes, Gróf úr, Hirig Harry és Imruci. Az első három a Vasmacskába jár, Dikics és Erősfiú a Vidám Matrózba. Fatengelyes és Gróf úr a Döglött Patkányba. Harry a Vörös Ökörbe, Imruci meg ide, a Fülelő Falba. Mind a Kopáncs utcában lakik, mégpedig Aranylábú és Erősfiú a 6-ban, Bika és Hirig a 8-ban, Cinege és Imruci a 15-ben, Dikics és Fatengelyes a 18-ban, Gróf úr meg a 32-ben.

- Éppen ideje volt, hogy ez a gazember horogra akadjon. Megyek, letartóztatom.

– Vajon ki nyírhatta ki a jó öreg Mackie Macket? – töprengett Fred hangosan.

Kiderül, hogy egyikük sem tudja , hogy ki a tettes, bár már a beszélgetés megkezdése előtt volt 1-1 információ a birtokukban.

Okos Fülöp tudja a házat, de mégsem tudja ki a tettes így G kiesik. Fred tudja a kocsmát, de a tettes kilétét nem, így H, I is kiesik.

Ezzel kiesik F is, hiszen G kiesésével F egyedüli gyanúsított maradt volna a Vörös Patkányból.

A sárgával jelöltek kiesése után Fülöp rájön, hogy ki a tettes, pedig ő csak a házszámot ismeri. Így A és E sem lehet a tettes, mert közülük nem tudta volna még most sem kitalálni Fülöp, hogy melyikük a gyilkos.

A 3 megmaradt gyanúsítottból Fred már meg tudja állapítani, hogy ki a gyilkos, pedig csak a kocsmát ismeri. Így B és C sem lehet a tettes, mert akkor ő még mindig nem tudná.

Mindenkit kizártunk, csak D lehet a tettes, őt tartóztatta le Logics felügyelő.

Egy páncélszekrényben gyémántból készült nyakékek vannak. Minden nyakék ugyanannyi gyémántból áll. Ha tudnánk, hogy hány darab gyémánt van a páncélszekrényben, akkor tudnánk, hogy hány nyakék van a szekrényben, és persze azt is, hogy egy nyakék hány gyémántból áll. Annyit tudunk még, hogy a páncélszekrényben lévő gyémántok száma 200 és 300 között van. Hány nyakék van a páncélszekrényben?

Jelölje n a nyakékek számát, k a nyakékeken lévő gyémántok számát. Ekkor a páncélszekrényben n*k darab gyémánt van. Olyan számot keresünk, amely csak egyféleképpen írható fel két szám szorzataként, hiszen a szorzatból meg lehet mondani a nyakékek és a gyémántok számát. Ezt például 247-ből nem tudnánk megmondani, noha 247= 13x19, de ez jelenthet 13 nyakéket darabonként 19 gyémánttal, de fordítva is lehetséges, azaz 19 nyakék darabonként 13 gyémánttal. Az egyértelműség miatt csak egy prímszám négyzete jöhet szóba. 200 és 300 között azonban csak egyetlen olyan négyzetszám van, amely egy prím négyzete. A keresett szám 289, amely a 17 négyzete. Ezért 17 nyakék van a páncélszekrényben darabonként 17 gyémánttal.

A salakmotor-versenyek kedvelői tudják, hogy a pályán egyszerre 4 versenyző fér el. Ha 16 versenyzőnk van, akkor éppen be lehet őket osztani négyes futamokba úgy, hogy mindenki mindenkivel pontosan egyszer találkozzon, Készítsünk el egy ilyen futam-beosztást, ha a 16 versenyző a következő: A, B, C, ... , O, P.

Mivel mindenki 15 másik versenyzővel találkozik, ezért összesen (16x15)/2=120 találkozást kell megszervezni. Ebből egy futamban (4x3)/2=6 valósul meg, így a szükséges futamok száma a két érték hányadosa, azaz 120/6=20. Egy lehetséges futambeosztás a következő lehet:

Megjegyzés: Kifogástalan futambeosztást mindössze hárman tudtak megadni, a többiek vagy nem is próbálkoztak, vagy hibás beosztást adtak meg.

	Hétfő	Kedd	Szerda	Csütörtök	Péntek	Szombat	Vasárnap
Tigris	H	I	H	I	H	I	I
Párduc	H	I	I	I	H	H	H

	Vasmacska	Vidám Matróz	Döglött Patkány	Vörös Ökör	Fülelő Fal
6	A	E
8	B			H
15	C				I
18		D	F
32			G